Bildmaterial zur Leibniz-Rechenmaschine

 

zum Aufbau und zur Arbeitsweise anhand von Foto- und Filmmaterial von Jakob Reinisch


Ergänzung zur Seite "Leibniz-Rechenmaschinen" von Jan Willem Liebezeit


Zur Entstehung

Leibniz beschäftigte sich mit dem Bau einer Rechenmaschine, die alle vier Grundrechenarten ausführen könnte, um klugen Köpfen die eintönige, aber notwendige Rechenarbeit zu ersparen. Er hatte wohl selbst viele Stunden mit stupidem Rechnen verbracht. Schwierigkeiten machte vor allem die mechanisch-technische Umsetzung der Pläne. Es ist nicht bekannt, ob seine letzte, die sog. jüngere Maschine zu seinen Lebzeiten funktioniert hat, da noch nicht alle Briefe von Leibniz veröffentlicht sind. Allgemein wird aber davon ausgegangen, dass die Maschine bis zum Schluss Probleme bereitete.

Diese Maschine war bis 1876 verschollen. Von 1894 bis 1896 versuchte Artur Burkhardt, ein Fachmann auf dem Gebiet der mechanischen Rechenmaschinen, alle Funktionen wieder(?) herzustellen. Die Bauweise von Rechenmaschinen hatte sich aber über die Jahre stark geändert, und so waren Burkhardts Versuche nicht erfolgreich, weil er vieles falsch justierte.

Erst N. J. Lehmann, Professor an der TU Dresden, erkannte die Fehleinschätzungen Burkhardts und stellte aufgrund seiner Erkenntnisse ab dem Jahr 1985 einen ersten vollfunktionsfähigen Nachbau der Maschine her. Die in Dresden gefilmte Maschine ist ein Nachbau nach Plänen von N. J. Lehmann, der zwischen 1998 und 2001 in der Werkstatt des Mathematischen Institutes an der TU Dresden realisiert werden konnte.


Baugruppen

Von der Funktion her ist die Leibnizmaschine in mehrere Baugruppen zu unterteilen: Ein Einstellwerk (rechtes Bild), ein Resultatwerk (linkes Bild), einen Übertragungsmechanismus, einen Verschiebungsmechanismus und einen "Umdrehungszähler".

Von der technischen Umsetzung orientiert sich Leibniz streng an den Methoden zur schriftlichen Ausführung der Rechenoperationen. Daher ist die Kenntnis dieser Methoden hilfreich beim Verständnis des Mechanismus, aber keinesfalls Voraussetzung - die Maschine sollte ja das Rechnen erleichtern. Um die Erläuterungen eher kurz zu halten, werden hier diese Kenntnisse beim Leser vorausgesetzt.


Staffelwalzen

Die wichtigste Erfindung Leibniz' war die Staffelwalze (rechtes Bild). Er stand vor dem Problem, ein Zahnrad mit einer veränderlichen Anzahl von Zähnen bauen zu müssen, um beliebige Ziffern einstellen zu können.

Er löste das Problem, indem er auf eine Walze Zähne verschiedener Länge aufbrachte und diese verschiebbar lagerte. Die Walze auf dem Bild ist also in vertikaler Richtung verschiebbar. Damit konnten alle Stellen des Summanden gleichzeitig ins Resultatwerk Übertragen werden - noch ohne Berücksichtigung der Überträge!

Dieses Prinzip wurde beim Bau von Rechenmaschinen bis in die 60er Jahre hinein benutzt.


Übertragswerk

Die größten Probleme bereiteten die entstehenden Überträge. Bis zum Schluss war die technische Umsetzung dieses Funktionsteils schwierig.

Das Prinzip:

In der ersten Phase: Beim Übergang des Resultatwerkrads S1 von der Ziffer 9 auf die Ziffer 0 wird über das Einhorn E1 ein sog. Fünfhorn Ü1 um 18° gedreht. Damit ist der Übertrag gespeichert.

In der zweiten Phase: Der Übertrag wird bei der weiteren Drehung der Kurbel K durch den Hebel H1 am Fünfhorn AÜ1 abgegriffen und über das Zahnrad ZW2 nachträglich ins Resultatwerk addiert.

Weil die Hebel H1, H2, H3,... gestaffelt sind, werden Überträge nacheinander abgegriffen. Dadurch können auch Sekundärüberträge bearbeitet werden (Überträge, die erst durch andere Überträge entstanden sind, wie z.B. bei 74 + 28).

Dieses Prinzip war sehr komplex und fehleranfällig, sodass es sich nicht bis ins letzte Jahrhundert gehalten hat. Immer wieder wurden Überträge nicht weiterverarbeitet und das schon bei geringsten Fehljustierungen und Abnutzungserscheinungen.


Umdrehungszähler

Ein sehr einfaches und handliches Bauteil ist der Umdrehungszähler. Möchte man bei Multiplikation und Division die Anzahl der Kurbeldrehungen speichern, so setzt man hier einen Stift neben die Ziffer null. Jetzt bewegt sich der Stift bei jeder Umdrehung der Antriebskurbel um eine Ziffer weiter.

Der Stift bewegt sich bei der Addition gegen, und bei Subtraktion mit dem Uhrzeigersinn. Dabei müssen immer die inneren Ziffern abgelesen werden.

Für die Multiplikation bedeutet das also: Man stecke den Stift auf die Ziffer, mit der Multipliziert werden soll und drehe die Kurbel bis der Stift an den Anschlag kommt.

Bei der Division stecke man Stift auf die Ziffer 0 und drehe die Kurbel bis keine Subtraktion mehr nötig ist. Am Umdrehungszähler ist jetzt eine Ziffer des Resultates ablesbar.


Addition

Zur Durchführung einer Addition muss erst das Resultatwerk S in den Ausgangszustand gebracht werden (Nullstellung aller 15 Ziffern). Dies geschieht am Einfachsten durch Subtraktion der noch eingestellten Ziffern (siehe "Subtraktion"). Dann wird der erste Summand im Einstellwerk E eingestellt und durch einmalige Drehung der Kurbel K (gegen den Uhrzeigersinn) in das Resultatswerk S übertragen. Der zweite Summand wird nun auf dieselbe Art und Weise hinzugefügt. Dabei werden zuerst alle Stellen gleichzeitig bearbeitet (erste Phase) und danach die Überträge (von der kleinsten Stelle an) hinzugefügt (zweite Phase). Eine weitere Addition kann umgehend erfolgen.

Die Addition wird beispielhaft vorgeführt: 254 + 448 = 702. Dabei entsteht ein Übertrag in der zweiten Stelle, der wiederum in der dritten Stelle einen Sekundärübertrag erzeugt.

Video-Addition


Subtraktion

Die Subtraktion ist bekanntlich die Umkehrung der Addition. Daher verläuft hier grundsätzlich alles genau umgekehrt.

Der Minuend ist im Resultatwerk einzustellen, der Subtrahend im Einstellwerk. Die Kurbel wird andersherum gedreht, also im Uhrzeigersinn. Im Resultatwerk erscheint die Differenz. Mit dem Ergebnis kann auch hier sofort weitergerechnet werden.

Es ist wichtig anzumerken, dass auch mit negativen Zahlen gerechnet werden kann. Diese sind allerdings nicht so einfach abzulesen. Denn bei einer Subtraktion, die über die Nullstellung aller 15 Resultatsräder hinweg führt, entstehen in allen Stellen Neunen. Man liest die Zahl dann als sog. 10er Komplement ab (die von Null verschiedene Ziffer mit dem kleinsten Stellenwert wird durch die Ergänzung zur 10, alle davor liegenden zur 9 ersetzt). Klingt kompliziert, ist aber nicht allzu schwer. Außerdem war es dadurch möglich, eine Rechnung auszuführen, die bloß zwischendurch in den negativen Bereich abrutschte - auch ganz ohne dieses Ablesen

Im Beispiel wird die oben angegebene Addition einfach umgekehrt. Symbolisch wird das Ergebnis "bis zur Null subtrahiert".

Video-Subtraktion


Multiplikation

Die Multiplikation wird als wiederholte Addition durchgeführt. Dabei muss aber bei der Multiplikation mit z.B. 23 nicht 23 Mal addiert werden. Das wäre bei großen Zahlen sehr unpraktisch. Stattdessen wird zunächst drei Mal addiert, dann das gesamte Eingabewerk um eine Stelle verschoben und noch zwei Mal addiert. Der ganze Prozess benötigt also nur fünf Umdrehungen.

Im Allgemeinen entspricht also die Anzahl der Additionen der Quersumme des zweiten Faktors. Da bei der Multiplikation die Faktoren vertauschbar sind, kann zur Optimierung immer der Faktor mit der kleineren Quersumme als "zweiter" (siehe Video) behandelt werden.

Um das ganze noch weiter zu erleichtern, benutzt man den Umdrehungszähler. Dann braucht man auch nicht mehr mitzuzählen, wie oft man nun schon addiert hat.

Video-Multiplikation


Division

Entsprechend der Multiplikation ist die Division hier eine wiederholte Subtraktion.

Die Division weist aber einige Besonderheiten im Ablauf auf:

Der Dividend wird im Resultatwerk, der Divisor im Einstellwerk eingestellt. Das Einstellwerk wird nach links verschoben bis der Divisor gerade noch subtrahiert werden kann (analog zur schriftlichen Division). Nun wird er so lange subtrahiert wie möglich. Die Anzahl der Umdrehungen wird im Umdrehungszähler abgelesen und schriftlich notiert. Sie ist die erste Ziffer des Resultates. Nach Verschiebung des Einstellwerkes um eine Stelle nach rechts wird analog weiter verfahren.

Das heißt aber, dass bei einer Division das Ergebnis, das ja extern festgehalten werden muss, nicht sofort verarbeitet werden kann. Eine Division ist also nicht in den "Fluss" mehrerer Rechenoperationen integrierbar. Möchte man z.B. zweimal in Folge dividieren, so muss das Ergebnis der ersten Rechnung als Dividend der zweiten Rechnung im Resultatwerk neu eingestellt werden.

Video-Division


Quellen

Alle Fotos und Videos wurden am 29. April 2005 in der Technischen Sammlung der Stadt Dresden aufgenommen. Dort steht die Rechenmaschine als Leihgabe der Technischen Universität Dresden. In diesem Zusammenhang gebührt mein Dank dem Vorführberechtigten Herrn Hans-Gert Dänel und den Mitarbeitern der Technischen Sammlung Herrn Johannes Paul und Herrn Dr. Helmut Lindner für die tatkräftige und kooperative Mitarbeit.

Außerdem danke ich der Firma "Casio" für die Bereitstellung der Fotokamera und Herrn Heiko Rüben und Herrn Tino Tschiesche vom Multimediazentrum der FSU Jena für die Unterstützung bei der Bearbeitung der Videoaufnahmen.

Sonstige Quellenangaben:

Lehmann, N.J. "Neue Erfahrungen zur Funktionsfähigkeit von Leibniz' Rechenmaschine";, Studia Leibnitiana, Bd XXV/2 (1993), Franz Steiner Verlag Wiesbaden GmbH, Sitz Stuttgart
Bedienungshinweise zum Dresdner Nachbau der Leibniz-Rechenmaschine




Jakob Reinisch, Juli 2005